\(u_n-n^2-n=u_{n-1}-\left(n-1\right)^2-\left(n-1\right)\)

Đặt \(v_n=u_n-n^2-n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=0\\v_n=v_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n=v_{n-1}=v_{n-2}=...=v_1=0\)

\(\Rightarrow u_n-n^2-n=0\Rightarrow u_n=n^2+n\)

\(\Rightarrow n^2+n< 100\Rightarrow n\le9\)

Dãy số này sai, \(u_3\) không xác định, do đó ko thể truy hồi được từ \(u_4\) trở đi

Muốn dãy số xác định thì \(n>4\)

\(u_n=\frac{n+1}{n-1}u_{n-1}\)

\(u_{n-1}=\frac{n-1+1}{n-1-1}u_{n-2}=\frac{n}{n-2}u_{n-2}\)

\(u_{n-2}=\frac{n-1}{n-3}u_{n-3}\)

...

\(u_2=\frac{2+1}{2-1}u_1\)

Nhân vế với vế:

\(u_nu_{n-1}u_{n-2}...u_2=\frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)...3}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)...1}u_{n-1}u_{n-2}u_{n-3}...u_1\)

\(\Leftrightarrow u_n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}u_1=n\left(n+1\right)\)

\(u_n< 100\Rightarrow n^2+n< 100\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-100< 0\Rightarrow n\le9\Rightarrow n=\left\{1;2;...;9\right\}\)

\(u_1=1\)

\(u_2=1\)

\(u_3=u_2+u_1=1+1=2\)

\(u_4=u_3+u_2=2+1=3\)

\(u_5=u_4+u_3=3+2=5\)

\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)

Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)

\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=2u_n+6\end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau

Bạn tham khảo câu trả lời của anh Lâm

https://hoc24.vn/cau-hoi/.334447965337